24 June 2008

Spira mirabilis

L'espiral logarítmica, també coneguda com espiral equiangular, de creixement o spira mirabilis, és una corba molt present a la natura i que té la particularitat de no canviar de forma en augmentar la mida. Es defineix, en coordenades polars, per la següent equació



en què r és el radi, a i b són escalars i θ és el valor de l'angle entre el radi i la tangent en un punt determinat.

(A la imatge es poden veure els punts P i P2, els radis que hi passen en negre i les tangents en rosa.)

Com es pot observar, els dos angles definits en cada cas són iguals, complint una de les propietats d'aquestes espirals: l'angle
θ és constant. De fet, una definició d'espiral logarítmica correspon a la "corba que talla tots els radis a angle constant". Un cas especial és la circumferència, que és una espiral de radi 90 graus.

L'espiral logarítmica és present a molts fenòmens naturals: les seves propietats permeten un empaquetament òptim, de manera que la relació entre mida i espai ocupat sigui la més eficient possible. D'això es poden veure alguns exemples a la natura: el creixement dels embrions humans, dels mol·luscs, de les pinyes del pi, de les llavors a les flors com el gira-sol...

Va ser Descartes qui va descriure l'espiral logarítmica primer, però a Jakob Bernouilli se li acrediten extenses investigacions i el nom que encapçala aquest escrit, spira mirabilis ("espiral miraculosa" o "meravellosa").

Referències:
Spira Mirabilis
Logarithmic Spiral - Wikipedia
Where can we find equiangular spirals?

3 comments:

ROGER TRUCKER said...

Ai nena, te m'has tornat massa "know it all", o sea, em-po-llo-na, o sea, you get it?
Apa chau cuca,
RT

Raquel G P said...

Qué interesante! Vaya nunca me había parado a pensar tantas cosas sobre esta espiral pero siempre va bien saberlo. xD

LSEP said...

Algun problema, estimat cosí? Saps de què pateixen els pijos? De la medul·la "o sea"... I saps on van de vacances? A l'"o sea... no?"! xD Molt dolents, ho sé!

¡Raquel! ¿También hay espirales logarítmicas en Alemania? La verdad es que es impresionante todo eso... Acabo de leer un libro sobre la proporción áurea muy interesante...