Spira mirabilis

L'espiral logarítmica, també coneguda com espiral equiangular, de creixement o spira mirabilis, és una corba molt present a la natura i que té la particularitat de no canviar de forma en augmentar la mida. Es defineix, en coordenades polars, per la següent equació

en què r és el radi, a i b són escalars i θ és el valor de l'angle entre el radi i la tangent en un punt determinat.

(A la imatge es poden veure els punts P i P2, els radis que hi passen en negre i les tangents en rosa.)

Com es pot observar, els dos angles definits en cada cas són iguals, complint una de les propietats d'aquestes espirals: l'angle θ és constant. De fet, una definició d'espiral logarítmica correspon a la "corba que talla tots els radis a angle constant". Un cas especial és la circumferència, que és una espiral de radi 90 graus.

L'espiral logarítmica és present a molts fenòmens naturals: les seves propietats permeten un empaquetament òptim, de manera que la relació entre mida i espai ocupat sigui la més eficient possible. D'això es poden veure alguns exemples a la natura: el creixement dels embrions humans, dels mol·luscs, de les pinyes del pi, de les llavors a les flors com el gira-sol...

Va ser Descartes qui va descriure l'espiral logarítmica primer, però a Jakob Bernouilli se li acrediten extenses investigacions i el nom que encapçala aquest escrit, spira mirabilis ("espiral miraculosa" o "meravellosa").

Referències:
Spira Mirabilis
Logarithmic Spiral - Wikipedia
Where can we find equiangular spirals?